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Insegnamento: Geometria e Algebra Lineare - IEI (Offerta Formativa a.a. 2015/2016)

Corso di studio: Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (D.M.270/04)

CFU6
Moduli

Modulo: geometria e algebra lineare - iei
TAF: Base; SSD: MAT/03; Ambito: matematica, informatica e statistica
Docenti: Maria Rita CASALI, Paola CRISTOFORI

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Orario Lezioni Accedi all'orario settimanale dell'insegnamento
Propedeuticità obbligatorie
Modalità di accertamento del profitto Scritto
Modalità di valutazione Voto
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Lingua di insegnamento

Italiano

Partizionamento studenti

Nessun partizionamento

Obiettivi

Introduzione ai concetti ed alla strutture di base dell'algebra lineare e della geometria euclidea di dimensione due e tre, in collegamento con il loro utilizzo in altre discipline.
Attraverso lo studio della materia, lo studente impara ad utilizzare un linguaggio matematico appropriato e rigoroso, a ragionare in modo logico, a risolvere specifici problemi tramite applicazione del metodo più adatto.

Prerequisiti

L'insegnamento è essenzialmente autocontenuto.
Sono richieste soltanto le nozioni e il simbolismo di base della teoria degli insiemi, e gli elementi essenziali dell'algebra dei polinomi.

Contenuti

Strutture algebriche elementari: gruppi, anelli, campi.
Matrici e loro operazioni. Determinante di una matrice quadrata. Matrice inversa.
Spazi vettoriali: combinazioni lineari; sistemi di generatori; basi e dimensione. Trasformazioni lineari; nucleo e immagine; equazione dimensionale; matrici associate. Rango di una matrice; algoritmi per il calcolo del rango. Rappresentazione cartesiana e parametrica di sottospazi vettoriali. Cambiamenti di base.
Discussione di un sistema lineare; struttura dello spazio delle soluzioni. Sistemi di Cramer. Algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari possibili.
Similitudine di matrici; problemi di diagonalizzazione. Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico; molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Teorema spettrale.
Spazi vettoriali euclidei: prodotto scalare; norma di un vettore; angoli, ortogonalità. Basi ortonormali; procedimento di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale euclideo. Orientazione; prodotto vettoriale e prodotto misto.
Geometria euclidea: sistemi di riferimento; sottospazi; mutue posizioni. Piano euclideo: rappresentazione cartesiana e parametrica di una retta; parallelismo ed ortogonalità; distanze; aree; isometrie piane. Spazio euclideo di dimensione tre: rappresentazione cartesiana e parametrica di una retta e di un piano; parallelismo ed ortogonalità; distanze; aree e volumi. Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo.
Teoria delle coniche: equazioni omogenee e non omogenee; matrici associate; supporto proprio e improprio. Coniche degeneri e non degeneri. Classificazione delle coniche non degeneri. Polarità. Centro di una conica e sue coordinate. Diametri. Asintoti. Assi e vertici. Equazioni canoniche euclidee delle coniche. Caratterizzazione delle iperboli equilatere, delle ellissi vuote e delle circonferenze. Fuochi e direttrici. Cenno ai fasci di coniche.

Metodi didattici

L'insegnamento consta di lezioni frontali (svolte anche attraverso l'ausilio di strumenti multimediali), con innestata attività di esercitazione, che permette l'applicazione immediata dei concetti e dei metodi teorici appresi. Sulla piattaforma Dolly e sul sito Web del docente gli studenti possono trovare esempi di esercizi e di prove d’esame, utili per la auto-verifica dell’apprendimento.

Verifica dell'apprendimento

L’esame consta di una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta consiste in un test a risposta multipla, contenente sia domande teoriche che domande che richiedono lo svolgimento di esercizi numerici. È possibile ottenere l’esonero dalla prova scritta tramite il superamento di due prove intermedie, della medesima tipologia delle prove scritte. La prova orale è volta alla verifica della conoscenza teorica degli argomenti in programma e della capacità di argomentare su di essi, con un uso corretto del formalismo matematico e del pensiero ipotetico deduttivo (attraverso la dimostrazione di alcuni importanti risultati dell’algebra lineare e della geometria euclidea).

Risultati attesi

Tramite lezioni in aula e studio individuale, conoscenza di: - strutture algebriche elementari, matrici e loro operazioni - spazi vettoriali e loro proprietà - trasformazioni lineari e teoremi connessi - algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari possibili - condizioni di diagonalizzabilità per similitudine di una matrice - prodotto scalare e spazi vettoriali euclidei - spazi euclidei; parallelismo, ortogonalità e distanza tra sottospazi euclidei (in particolare in dimensione due e tre) - teoria delle coniche. Tramite le esercitazioni in aula, l’attività di supporto e il lavoro individuale, capacità di: - calcolare il determinante e il rango di una matrice - discutere e risolvere sistemi lineari - determinare base e dimensione di uno spazio vettoriale - determinare nucleo e immagine di una trasformazione lineare, verificando iniettività e/o suriettività - calcolare gli autovalori e discutere la diagonalizzabilità di una matrice - costruire basi ortonormali in uno spazio vettoriale euclideo - determinare il complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale euclideo dato - rappresentare in forma cartesiana e parametrica i sottospazi euclidei - stabilire la mutua posizione tra sottospazi euclidei e calcolarne la distanza - classificare le coniche del piano euclideo e determinarne gli elementi fondamentali. Attitudine ad un approccio metodologico che conduca a verificare tramite argomentazioni rigorose le affermazioni e i metodi presentati. Capacità di autovalutazione delle proprie competenze ed abilità. Capacità di affrontare in modo puntuale e coerente un confronto dialettico, argomentando con precisione. Acquisizione delle conoscenze di tipo matematico come proprio patrimonio, da poter utilizzare in qualsiasi altro momento del proprio percorso culturale. Attitudine ad un approccio metodologico che conduca ad un miglioramento del metodo di studio con conseguente approfondimento della capacità di apprendere.

Testi

M.R. Casali - C. Gagliardi - L. Grasselli, GEOMETRIA, Esculapio ed., Bologna, 2010 [NUOVA edizione: ISBN 978-88-7488-378-3];

Altri testi:
E. Sernesi, Geometria I, Boringhieri, Torino, 1989;
A. Barani - L. Grasselli - C. Landi, Algebra Lineare e geometria - quiz ed esercizi commentati e risolti, Progetto Leonardo, Bologna, 2005;
C. Bignardi - B. Ruini - F. Spaggiari, Esercizi di Algebra Lineare, Pitagora Editrice, Bologna, 1996;
B. Ruini - F. Spaggiari, Esercizi di Geometria, Pitagora Editrice, Bologna, 2002;
L. Gualandri, Esercizi di algebra lineare e geometria, Esculapio ed., 1995.
S. Lipschutz, Algebra Lineare (collana Schaum - teoria e problemi), Etas ed., 1975.

Docenti

Maria Rita CASALI
Paola CRISTOFORI